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極限 n→∞　x^n

$3$n$ は自然数とする．

$3$\displaystyle{ 1< x }$ のとき， $3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }{x}^{n}= +\infty }$ ･･････(1)
$3$\displaystyle{ x=1 }$ のとき， $3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }{x}^{n}= 1}$ ･･････(2)
$3$\displaystyle{ - 1< x< 1 }$ のとき， $3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }{x}^{n}= 0 }$ ･･････(3)
$3$\displaystyle{ x\leq - 1 }$ のとき， $3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }{x}^{n}= }$ 振動する　･･････(4)

■証明

● $3$\displaystyle{ 1< x }$ のとき

$3$x=1+y$ ， $3$y> 0$ とおく．二項定理より

$3$\displaystyle{{x}^{n}={\left({ 1+y }\right)}^{n}}$

$3$= \hspace{1}{}_{n}^{- }Cone/>_{0n}^{}n {1}^{n}\cdot {y}^{0}+\hspace{1}{}_{}^{1}Cone/>_{1n}^{}n$

$3$\displaystyle{=1+ny+\frac{\hspace{2} n\left({ n- 1 }\right) \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}+\cdots +{y}^{n}}$

$3$\displaystyle{> 1+ny}$

となる．

$3$y$ は $3$y> 0$ のある値であるため

$3$n\rightarrow \infty$ のとき， $3$ny\rightarrow \infty$

したがって

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }{x}^{n}> { \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\left({ 1+ny }\right)=\infty}$

ゆえに

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }{x}^{n}=\infty}$

となる．

● $3$x=1$ のとき

$3${1}^{n}=1$ より

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }{x}^{n}= 1}$

となる．

● $3$- 1< x< 1$ のとき

$3$\displaystyle{x=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}z\hspace{2}}}$ とおく．

$3$\left|{z}\right|> 1$ より

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }{\left|{z}\right|}^{n}=\infty}$

となる．よって

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }{\left|{x}\right|}^{n}={ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }{\left|{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}z\hspace{2}} }\right|}^{n}={ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \left|{z}\right| }^{n} \hspace{2}}=0}$

したがって

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }{x}^{n}=0}$

となる．

● $3$\displaystyle{x\leq - 1}$ のとき

$3${x}^{n}={\left({ - 1 }\right)}^{n}\left|{ {x}^{n} }\right|$

よって， $3$n$ の値が1増すごとに $3${x}^{n}$ の符号が入れかわる．

したがって

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }{x}^{n}= }$ 振動する

ことになる．

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最終更新日 2025年4月26日